碎 形 簡 介

碎形的由來

    碎形(fractal)是一門新數學,1975年由IBM華特生研究所的孟得博提出, fractal原意是「破碎」的意思.所謂碎形幾何學,可說是用來理解不規則且複雜的形狀或現象的幾何學.

    然界中充滿著各種不規則且複雜的形狀, 如雲的形狀,海岸線.樹葉.閃電等形狀,用我們所學的歐幾里德幾何學,無法闡明這些特殊的形狀。碎形幾何學,結合電腦正是解決這方面問題的利器.由於是新興的數學,所以還有許多理論基礎未盡完善,是一塊值得開發的領域

___________________________________________________________________________________.

碎形的性質

碎形幾何學所顯示的圖形中,具有幾項共同的特性.

1.到處都不可微分:

     內部結構複雜,處處不可微分.

2.內在位似(self similar)::

     無論圖形如何擴大, 其內部結構一直重現..

3.非整數維數(dimension)

    直線.平面.空間分別為一維.二維.三維,其維數均為整數,但碎形具有非整數之維數.

    例如人腦為維數介於2.73與2.79之間的碎形結構.

_________________________________________________________________________________

碎形的產生

在自然科學的領域,常會出現碎形,氣象.生物族群.電磁學.乃至於醫學.....等,都會有碎形產生.

數學上最有名的碎形例子,稱為孟德博集(Mandelbrat set),用牛頓法求方程式近似解時(高三理科數學下冊),如果起始值,在某一特殊範圍時,最後會收斂於一"假解",對三次方程式作有系統的研究,,發現會產生"假解"的三次方程式,其係數必須屬於一特殊集合,將結果表現於電腦銀幕上,會出現奇妙的碎形,稱為孟得博集.以下是產生孟德博集最常見的方式:

已知    z為複變數   設 z2+c=0  其中c為複數常數

先設z=0  然後以 z'=z2+c 一直疊代  ,  第一次 z=0 得 z'=c 再代入z中,第二次得 z'=(c2+c) ,第三次

z'=(c2+c)2+c....如此反覆n次,若c為特別的值,則不管n等於多少,'z'=z2+c永遠有一上界,將這種特殊的

c值,以作了n次才超出上界之n值控制顏色,畫在複數平面上,即是複雜的碎形.

__________________________________________________________________________________

碎形電腦程式

可用各種不同語言設計程式(VB.VC.JAVA...等)  用BASIC1表示主體如下:

 FOR X=X1 TO X2    

    FOR Y=Y1 TO Y2                       

            I=....... : J=.......        將複數平面上的點,化為電腦顯示幕上的點

            CX=0:CY=0

                  FOR N=1 TO  1024

                          XE=CX*CX-CY*CY+X  

                          YE=2*CX*CY+Y

                          R=CX*CX+CY*CY

                          IF(R>4) THEN EXIT FOR

                          CX=XE

                 NEXT N

       PSET (I,J) RGB(F(N),F(N),F(N))  .........F(N)為N之函數

       NEXT Y

   NEXT X

當然各種程式有其不同語法,將上述過程改成正確的語言即可.